Bu çalışmada; söylediğinin yıllar sonra anlaşıldığı, belki de hâlâ daha anlaşılması gereken tarafları olan, dâhi bir mantıkçı ve matematikçi Kurt Gödel’in bilimin sınırlarına dâir çizdiği kalın ama aynı zamanda çok ince çizgiler üzerinde düşmeden dolaşmak esas gayemdir. Bahse konu olan çizgilerden kasıt, Gödel’in meşhur eksiksizlik teoreminin matematik izâhından ziyade (zaten ispatını anlayan yok gibi!) bu teoremin bir felsefî soruşturmasını yapabilmektir. Bu soruşturma esnasında; bilimin ne’leri bileceğinden ziyade, ne’leri bilemeyeceği ile ilgileneceğim. Ayrıca bu sorunun zarûri olarak doğurduğu insan ve bilgisayar, matematik ve felsefe, yapay zekâ ve beyin gibi sahaların da bu teoremle olan ilişkisini izah etmeye çalışacağım.
Nasıl Bir Evren Tahayyül Edersiniz?
Evvelâ, Gödel’e gelene kadar “Batı” için Descartes’tan beri hâkim olan determinist evren tasavvurunu özetlemek istiyorum. Descartes ile başlayan “ben düşünüyorum” anlayışı mühim bir çıkış noktasıdır. Copernic ve Newton’un kilisenin gözlüğünü çıkarması yeni bir bilme tarzını doğuruyor. Aydınlanma ile beraber “Newtoncu” bilme tarzı yüceltiliyor ve bu yeni bilme tarzı “sanayi devrimi” ile müthiş bir iktisadi faaliyete, hâliyle de maddî zenginliğe dönüşüyor. Aydınlanma ile beraber bilmeyi derinleştirmekten ziyade “yapma” fikri daha ağır basıyor. 1730’larda Aguste Comte ile beraber bu bilme tarzı yeni bir “din” oluşturuyor. Bu dinin adı da meşhur Pozitivizm’dir. Öklid dışı geometri anlayışı da yeni geometrilerin (Rienmann, Lobachevski) ve teorilerin (Einstein, kuantum…) keşfi ile yıkılıyor. Bu bilme faaliyetinin merkezine de “bilen adam (scientist)” yerleştiriliyor. 1800’de Houmbold Üniversitesi ile modern anlamda Üniversite kavramı doğuyor ve bahse konu olan “bilme” tarzı da üniversitelere yerleştiriliyor. Bu bilme tarzı; deneye dayalı ve deney fikrinin doğru bilgiyi doğurduğunu iddia ediyordu. Klâsik gelenekte deneyin merhaleleri yayınlanmazken, ilk defa Robert Boyle deneyin adımlarını neşrediyor ve böylelikle deneyin tekrar edilebilmesini sağlıyor. Matematik ise tabii süreçleri izah etmek için başvurulan bir ilkeler bütünü oluveriyor ve fizikî nedensellik matematiksel olarak izah edilmeye başlanıyor. Calculus hesabıda (sonsuz küçükler) bu ihtiyaçlardan doğuyor. Leibnitz’in calculus’u metafizik ihtiyaçlardan doğarken, Newton’un calculus’u ise astronomik ihtiyaçlardan doğ-muştur. Evren’deki spritüel olan her şey, mekanik evren anlayışı için temizlenmeye çalışılıyor. “Tartışma, hesap et” gibi söylemler artıyor. Ampirikmatematikmekanik bir evren tasavvuru nur topu gibi bilim adamlarının kucağındadır artık.
Olgunlaş(ma)mış Zihniyet
19.yy’ın başında Öklid’çi olmayan geometrilerin teşekkül etmesiyle matematik kadar düşünce tarihinde de bir dönüm noktası oluşturdu. Çünkü zorunlu doğru oldukları düşünülen Öklid geometrisinin aksiyomlarından birinin yerine (5.aksiyom) onun tam karşıtı olan bir aksiyomun konulmasıyla ortaya yeni geometriler ve dahi yeni tasavvurlar neşet oldu. Einstein’ın Genel Görelilik Kuramının (1915) Rienmann geometrisiyle ifade edilmesi Newtoncu olmayan fizikte olgularla uyumlu olarak kullanılabilmelerine olanak sağladı. Bu geometrilerin kabul görmesiyle birlikte matematikte kendinden doğruluk yerine, tutarlılık ve ispatlanabilirlik fikri yerleşmiş oldu. Bahsi geçen geometrilerin neşet etmesi hem bilgi felsefesini alt üst etmiş, hem de matematikte asıl önemin muhtevadan önce şekile verilmesi gerektiğini öne çıkardı. Kusursuz biçimselliğin sağlanması saf matematiğin en önemli çalışma sahalarından biri oluyordu. Matematikte şekle verilen bu önem sanatta, şiirde, müzikte kendini çok açık gösteriyordu. Matematiğin aksiyomatikleştirilmiş tek dalı olan geometrinin doğruluğuna olan inancın sarsılması, sağlam temeller bulma arayışını geometriden aritmetiğe kaydırmıştı. Weierstrass ve Dedekind’in çalışmaları hep bu minvaldedir. Cantor’un kümeler kuramında ise geometrik sezgiye hiç yer yoktur. Peano ise tam sayılar aritmetiğini aksiyomatikleştirmiştir. Felsefeye olan tesirlerde ise Mantıkçı Pozitivizm metafizikten (bir anlamda da Din’den) kurtulmak için en mühim yeri mantığa veriyordu. Böylece sağlam bir mantık yapısına oturtulan Felsefe de Metafizikten temizleniyordu.
Russell ve Whitehead 1910 senesinde Principia Matematica’yı, tam da mekanik evren anlayışına uygun olarak neşrediyorlardı. Russell 1900 senesinde matematiğin çelişkili olduğunu gösteren paradoksunu 1908’de ortadan kaldırıyordu ama bu paradoks modern matematiğin ivme almasına yetiyor gibiydi. 1920’lerde Hilbert, paradoksların günlük dille yazılan matematik yüzünden neşet ettiğini savunuyor ve bundan dolayı da matematiği sonlu bir küme olarak tarif edip, matematiğin kendisinden türediği ve sonu olan bir aksiyomlar sistemi ile ifade edilebileceğini savunuyordu. Bu tez ileride, insan düşüncesinin de bir formal yapı olarak ifade edilebileceğini savunan yapay zekâcıların çıkışına zemin teşkil edecekti.
Hilbert’in 1930’da Alman matematikçileri toplantısının sonun da haddini, hâliyle de hudutları aşan “bilmeliyiz, bileceğiz” cümlesini -sanki Gödel’i görürmüş gibi- sarf eder. Burada Hilbert’in savunduğu formalizasyon, tamamlanmışlık, tutarlılık, karar verilebilirlik gibi dört maddenin geçersiz olduğunu Gödel, “eksiksizlik teoremleri” ile gösterecekti.
Frege’nin 1879’da yayınladığı Begriffsschrift eseriyle yeni bir dönemece giren Matematik Felsefesi; Aritmetiğin Temelleri (1884), Principia Mathematica ve Formalist Okul’un teşebbüsleriyle aritmetiği mantığa indirgeme çabaları tavan yapıyordu. Frege’nin dildeki yüklem ve niceleyici mantığın esaslarını vermesiyle beraber bu düşünce artık zirvesine ulaşmış oldu. Artık mantık neredeyse dildeki bütün ifadeleri yakalayacak duruma gelmişti. Frege’nin bundan sonra yapmak istediği ise aritmetiğin tamamen mantıkî temellere dayandığını göstermek olacaktı. Yani analitik bir yapı kurulmaya çalışılıyor ve aritmetiğin tutarlılığının sağlanması Hilbert ve etrafındaki Von Neumann, J.Herbrand gibi matematikçilerin esas ilgi odağı oluyordu. İşte Gödel’in makalesi tam da bu kesif tartışmaların ortasında neşv-u nema buluyordu. Yeni vücut bulan bu ispatın babası Gödel, amcası da başka bir dahi olan von Neumann’dı. Özellikle bu dönemde Viyana sadece Mantıkçı Pozitivistlerle, Popper’la ve Wittgenstein’la Felsefede değil; aynı zamanda Schönberg, Berg ve Webern’le müzikte, Adolf Loss’la mimaride, hatta Nimzovitzch’le, Reti’yle satrançta da yeni atılımların yeni kuramların merkezi oluyordu. Bu biçimselleştirmenin arka planında yatan ideolojik desteğin yanında bu problemlerin kendi iç sorunlarının da çözüme kavuşturulması gerekiyordu.
Tutarlılık Meselesi
Bir biçimsel aksiyomatik dizinin en mühim sorunu tutarlılık sorunudur. Yani bir biçimsel dizinin aksiyomlarından, türetim ve dönüşüm kurallarından bir önermenin hem kendisinin hem de onun biçimsel tekzibinin (değillemesinin) çıkarılması gerekir. İşte Hilbert’in ve Formalist Okulun 1920’lerde ki en büyük çabası aritmetiğin tutarlı olduğunu göstermektir. Gödel’in makalesi aritmetiğin tutarlılığının sağlanmaya çalışıldığı döneme rastlamıştır ve ortaya koy-duğu sonuçla Hilbert’in çabasının beyhûde olduğunu göstermiştir. Öklid dışı geometriler, matematik alanında yapılan çalışmalar olmakla birlikte, dünyayı kavrayışın, dünyanın bilgisini değerlendirmenin her alanına tesir etmiştir. Gödel, Aristoteles’ten beri bilinen, ilk ilkelerden yola çıkarak sağlam indüktif (tümdengelimli) bir dizi kurma idealini sarsmıştır. Gödel’in çalışması 1960’larda gündemi belirlemeye başlayan ABD kökenli bilim felsefesine (Kuhn, Feyrabend) giden yolda mesnetlerden biri oluyordu. Ayrıca Postmodernite üzerine düşünceler üreten felsefeciler de Gödel’e sık sık gönderme yapmayı da ihmal etmiyorlardı.
Muhammet Ayal / Felsefe Yazarı
Sayı 157 / Kış 2017